El ‘problema más antiguo de la historia’ de matemáticas obtiene una nueva respuesta
Los teóricos de los números son siempre buscando una estructura oculta. Y cuando se enfrentan a un patrón numérico que parece inevitable, ponen a prueba su temple, esforzándose (ya menudo fallando) en idear situaciones en las que un patrón determinado no puede aparecer.
Uno de los últimos resultados para demostrar la resiliencia de tales patrones, de Thomas Bloom de la Universidad de Oxford, responde a una pregunta con raíces que se remontan al antiguo Egipto.
“Podría ser el problema más antiguo de la historia”, dijo Carl Pomerance de Dartmouth College.
La pregunta involucra fracciones que tienen un 1 en su numerador, como 1⁄2, 1⁄7 o 1⁄122. Estas «fracciones unitarias» eran especialmente importantes para los antiguos egipcios porque eran los únicos tipos de fracciones que contenía su sistema numérico. Con la excepción de un solo símbolo para 2⁄3, solo podían expresar fracciones más complicadas (como 3⁄4) como sumas de fracciones unitarias (1⁄2 + 1⁄4).
El interés actual en tales sumas aumentó en la década de 1970, cuando Paul Erdős y Ronald Graham preguntaron qué tan difícil sería crear conjuntos de números enteros que no contengan un subconjunto cuyos recíprocos suman 1. Por ejemplo, el el conjunto {2, 3, 6, 9, 13} no pasa esta prueba: contiene el subconjunto {2, 3, 6}, cuyos recíprocos son las fracciones unitarias 1⁄2, 1⁄3 y 1⁄6, que suman 1.
Más exactamente, Erdős y Graham conjeturaron que cualquier conjunto que muestrea una proporción positiva suficientemente grande de los números enteros (podría ser 20 por ciento, 1 por ciento o 0,001 por ciento) debe contener un subconjunto cuyos recíprocos suman 1. Si el conjunto inicial satisface esa condición simple de muestrear suficientes números enteros (conocido como tener «densidad positiva»), incluso si sus miembros fueran elegidos deliberadamente para dificultar encontrar ese subconjunto, el subconjunto tendría que existir.
“Simplemente pensé que esta era una pregunta imposible que nadie en su sano juicio podría jamás hacer”, dijo Andrew Granville de la Universidad de Montreal. «No vi ninguna herramienta obvia que pudiera atacarlo».
La participación de Bloom con la pregunta de Erdős y Graham surgió de una tarea asignada: en septiembre pasado, se le pidió que presentara un artículo de hace 20 años a un grupo de lectura en Oxford.
Ese artículo, de un matemático llamado Ernie Croot, había resuelto la llamada versión coloreada del problema de Erdős-Graham. Allí, los números enteros se ordenan aleatoriamente en diferentes baldes designados por colores: unos van en el balde azul, otros en el rojo, y así sucesivamente. Erdős y Graham predijeron que no importa cuántos cubos diferentes se usen en esta clasificación, al menos un cubo debe contener un subconjunto de números enteros cuyos recíprocos sumen 1.
Croot introdujo métodos nuevos y poderosos a partir del análisis armónico, una rama de las matemáticas estrechamente relacionada con el cálculo, para confirmar la predicción de Erdős-Graham. Su trabajo fue publicado en el Anales de Matemáticasla revista líder en el campo.
“Es un placer leer el argumento de Croot”, dijo Giorgis Petridis de la Universidad de Georgia. «Requiere creatividad, ingenio y mucha fuerza técnica».
Sin embargo, a pesar de lo impresionante que fue el artículo de Croot, no pudo responder a la versión de densidad de la conjetura de Erdős-Graham. Esto se debió a una conveniencia que Croot aprovechó y que está disponible en la formulación de clasificación de cubos, pero no en la de densidad.