Isadore Manuel Singer: Un matemático con mucho jazz | Café y teoremas

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Isadore Singer (izquierda) y Michael Atiya reciben el premio de manos del rey Harald de Noruega.ASSOCIATED PRESS

El pasado mes de febrero falleció Isadore Manuel Singer, profesor emérito del Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT) y ganador del Premio Abel. Su aportación más importante, el teorema del índice de Atiyah-Singer, propone una profunda relación entre topología, geometría y análisis, cuyas ramificaciones también alcanzan la física teórica. Más allá de las matemáticas, Singer fue miembro del Consejo de Ciencias de la Casa Blanca y dirigió el Comité de Ciencias y Políticas Públicas de la Academia Estadounidense de Ciencias, donde abordó temas como la gestión de desechos nucleares o la privacidad en la era de la informática, casi 20 años antes de su tiempo.

Singer nació en 1924 en una familia muy humilde de inmigrantes polacos; su padre era pintor y su madre, “la persona más inteligente que he conocido”, según el propio Singer, costurera. Durante la Gran Recesión y los años siguientes, la familia sufrió graves dificultades económicas y Singer tuvo que combinar varios trabajos para pagar su educación. Aunque consiguió una beca para estudiar Física en la Universidad de Michigan (EE. UU.), Para sobrevivir revendió entradas de fútbol que consiguió de forma gratuita como estudiante.

En 1944, después de obtener su título en solo dos años y medio, se mudó a Filipinas como operador de radar para el ejército estadounidense. Por las noches, mientras sus compañeros disfrutaban del póquer, intentaba comprender la relatividad general y la mecánica cuántica tomando cursos por correspondencia de geometría y teoría de grupos ofrecidos por la Universidad de Chicago.

El cantante provenía de una familia muy humilde. Sobrevivió en la universidad revendiendo boletos de fútbol que le habían regalado por ser estudiante.

Frustrado, al regresar de Filipinas en 1947, decide matricularse en un curso de matemáticas en la misma universidad. Después de un año de maestría, la disciplina lo fascinaba; Sintió que “era su campo” y decidió hacer un doctorado con el analista Irving Segal, quien se convertiría en uno de sus referentes; el otro sería Shiing-Shen Chern, a quien conocería en su último año en Chicago. En 1950 terminó su tesis y se trasladó al MIT como posdoctorado; allí desarrollaría la mayor parte de su carrera.

El mismo día que llegó al MIT, se sintió como en casa, lo que no había sucedido en muchos años. En la secretaria del departamento, Singer conoció al también matemático Warren Ambrose e inmediatamente comenzó su amistad y colaboración, que duraría toda la vida. La mayoría de las noches se reunían en la cafetería Hayes-Bickford para hablar de matemáticas con un entusiasmo contagioso. Otras veces se refugiaban en clubs de jazz donde, si tenían suerte, podían escuchar a Ella Fitzgerald o tomar un café con Billie Holliday en el backstage. A pesar de todo, no fue un momento fácil para Singer, ya que su hijo nació con graves problemas de salud. Singer nunca se cansó de admitir que no sobreviviría como matemático sin el apoyo constante de Ambrose.

La colaboración dio sus frutos: Ambrose y Singer revolucionaron la enseñanza de la geometría diferencial en el MIT y en 1953 publicaron un teorema que relacionaba la curvatura con la holonomía y que determinaría el desarrollo de la geometría diferencial en las décadas siguientes.

La colaboración entre Ambrose y Singer desembocó en un teorema que marcaría el desarrollo de la geometría diferencial en las siguientes décadas.

Sin embargo, su colaboración más fructífera fue con Michael Atiyah, a quien había conocido en 1955 en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton (EE. UU.). Como todo el mundo, Singer no pudo resistir la maravillosa mezcla de genialidad, entusiasmo contagioso y energía que caracterizó a Atiyah y que lo convertiría en uno de los matemáticos más famosos del siglo XX. En 1962, Singer tomó un año sabático en el MIT y decidió establecerse en Oxford para trabajar con Atiyah. Tan pronto como lo recibió, el inglés le hizo una pregunta: “¿Por qué genus  es un número entero para las variedades de espín?” Aunque Atiyah conocía la respuesta, sintió que había una razón más profunda. Singer estaba tan intrigado por la pregunta que inmediatamente se puso a trabajar en el problema.

El género  de un espacio geométrico es un polinomio cuyos coeficientes son números racionales y sus variables indeterminadas están dadas por ciertos invariantes topológicos. Dado que operamos con números racionales, uno esperaría que, después de todos los cálculos, el género  fuera un número racional. Sin embargo, a principios de la década de 1960, los matemáticos habían utilizado técnicas muy sofisticadas de topología algebraica para demostrar que para una clase muy específica de espacios geométricos, las variedades de espín, sorprendentemente, el género  es un número entero.

En febrero de 1962, Singer especuló que este número entero debe ser la resta de dos números naturales que cuentan objetos matemáticos. A través de su formación en análisis, Singer se dio cuenta de que efectivamente estaban teniendo en cuenta soluciones de ecuaciones diferenciales, expresadas como operadores geométricos. En marzo, Singer anunció su descubrimiento en Atiyah: el género  nació al contar el número de soluciones del operador de Dirac generalizado para hilar variedades.

Lograron proporcionar una fórmula explícita para calcular una invariante topológica y generalizada del género  que había servido de guía.

A partir de ese momento, pasaron los siguientes 18 meses formalizando uno de los teoremas fundamentales del siglo XX: el teorema del índice. Atiyah aportó su profundo conocimiento de topología y geometría algebraica, y Singer su análisis y geometría diferencial. El enunciado final asegura que, dada una ecuación diferencial de cierto tipo, su índice – la diferencia entre el número de parámetros necesarios para describir sus soluciones y el número de relaciones impuestas por la ecuación diferencial – es un invariante topológico. Quizás lo más importante es que lograron llegar a una fórmula explícita para calcularlo en términos de objetos topológicos conocidos, generalizando el género que había servido de guía.

Más que un teorema, el resultado es una teoría. Durante 25 años, Atiyah y Singer han encontrado nueva evidencia que ha proporcionado nuevos conocimientos y ha explorado sus ramificaciones, especialmente en relación con las teorías de calibre en física. Por tanto, no es de extrañar que Atiyah y Singer ganaran el premio Abel en 2004, quizás el más prestigioso de la impresionante lista de premios que Singer ha recibido a lo largo de su carrera.

Singer comparó su colaboración con Michael Atiyah con la canción de Cole Porter “Anything Goes”. Sin embargo, quienes lo conocieron están de acuerdo en que esta descripción se ajusta al enfoque de Singer a las matemáticas. Al final, Singer fue único en su estilo simple, improvisado y fácil de dejarse llevar por los problemas y la intuición. Jazz puro.

David Fernandez Alvarez es un investigador postdoctoral en la Universidad de Bielefeld (Alemania)

Redacción y coordinación: Agata A. Timón G-Longoria (ICMAT)

Café y teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y el entorno en el que se crea, coordinada por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que investigadores y miembros del centro describen los últimos avances en esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otros y expresiones culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar el café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma el café en teoremas”.

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