Los misterios de los conjuntos de Sidon | Café y teoremas

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En determinadas áreas de las matemáticas existen muchos acertijos que se formulan de forma elemental y que, sin embargo, requieren de técnicas complejas e ideas variadas para su estudio. Un buen ejemplo es el caso de los llamados Conjunto de Sidón. En los años 30 del siglo pasado, el matemático húngaro Simon Sidon estaba desarrollando algunos trabajos en el campo del análisis, cuando se topó con un tipo de conjuntos de números que le llamaron la atención. Sidon compartió sus preguntas sobre estos conjuntos con el prolífico matemático Paul Erdős, quien, fascinado por el tema, los llamó Conjunto de Sidón ya ellos dedicó numerosas obras a lo largo de su vida.

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Una colección de enteros es un conjunto de Sidon si las diferencias entre los diferentes números de la colección son diferentes entre sí. Por ejemplo, el conjunto {1, 2, 4} es de Sidón, ya que las posibles diferencias de los tres números, es decir, 2-1 = 1, 4-2 = 2 y 4-1 = 3, son diferentes; el conjunto {1, 3, 5}, por otro lado, no es de Sidón, ya que la diferencia 2 se repite dos veces (2 = 3-1 = 5-3).

Una de las primeras preguntas que Sidon le planteó a Erdős fue saber cuál es la dimensión más grande, es decir, el número de elementos, que puede tener un conjunto de Sidon contenido en un rango determinado de números. Por ejemplo, dentro del rango [1, 35] = {1, 2, 3,…, 35}, ocurre sin dificultad que todo S. = {1, 2, 4, 8, 16, 32}, de dimensión 6, ¿es un conjunto de Sidón, pero hay conjuntos de Sidón más grandes en este rango? De manera más general, si establecemos un número entero norte, ¿Qué tamaño puede tener un conjunto de Sidon dentro del rango? [1, N]? Puedes definir una función F.(norte), cuyo valor para cada entero norte es el tamaño máximo que puede tener un set de Sidon dentro [1, N]. Entonces, el problema es encontrar una fórmula para F.(norte) como una función de norte.

En el ejemplo anterior, el conjunto S. indica que el valor de F.(35) es al menos 6. Podemos mejorar esta estimación si observamos que el conjunto {1, 2, 5, 10, 16, 23, 33, 35} también está en ese intervalo, tiene ocho elementos y también es de Sidón, con lo cual podemos afirmar que F.(35) es al menos 8. Resulta que, utilizando un argumento un poco más complicado, se puede demostrar que no hay un conjunto Sidon con 9 elementos en [1, 35], entonces podemos concluir que F.(35) es 8. Cuando norte asume valores más altos, el problema de determinar F.(norte) se complica. De hecho, el problema de encontrar una fórmula general para calcular F.(norte), por cualquier valor de norte, es uno de los enigmas centrales sobre los ensamblajes de Sidon, y aún hoy permanece sin una solución completa, aunque ha habido avances interesantes recientemente.

Estos resultados recientes siguen una importante línea de investigación en este campo, que se centra en la búsqueda de aproximaciones de F.(norte) tan preciso como sea posible. Como punto de partida, es fácil ver que F.(norte) tiene el límite superior (2norte) ¹ᴵ² +1/2. De hecho, para cualquier set de Sidón S. en el intervalo [1, N] con F.(norte) elementos, se satisface que todas las diferencias (positivas) de cada par de elementos difieren de S. son números diferentes, con un valor entre 1 y norte-1. Por lo tanto, no puede haber varios pares de elementos que S. ¿Qué números entre 1 y norte-1. Saber el número total de estos pares es F.(norte) (F.(norte) – 1) / 2, el límite superior se deduce por F.(norte) mencionado. Por otro lado, para los números norte Se han encontrado grandes conjuntos de Sidón cuyas dimensiones alcanzan norte¹ᴵ². Combinando las dos últimas oraciones, podemos decir que el valor exacto de F.(norte) está entre norte¹ᴵ² y (2norte) ¹ᴵ² +1/2.

Los conjuntos de sidones generalizados bidimensionales, que consideran, en lugar de números enteros, puntos en el plano con coordenadas enteras, se pueden utilizar en el diseño eficiente de antenas y sonar, distribución de claves en redes celulares y criptografía.

Con más ingenio y trabajo, Bernt Lindström demostró en 1969 que F.(norte) es siempre menor que norte¹ᴵ² +norte¹ᴵ⁴ + 1. Reducir significativamente este nivel resultó muy difícil. Erdős llegó a ofrecer 500 dólares a cualquiera que haya logrado una mejora sustancial en el tamaño de Lindström. Durante más de medio siglo la cuestión se mantuvo sin muchos avances hasta que hace poco József Balogh, Zoltán Füredi y Souktik Roy lograron dar un importante paso adelante, estableciendo el nuevo límite máximo. norte1/2 + 0,998norte1/4 + 1 para F.(norte), todavía pendiente de publicación.

Sin duda, este resultado habría interesado mucho a Erdős. También le hubiera encantado el que fue un gran impulsor de la teoría combinatoria de números en España, nuestro amigo y colega Javier Cilleruelo, catedrático de la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del ICMAT, fallecido hace cinco años. Entre sus numerosas y variadas aportaciones, Cilleruelo ha obtenido importantes resultados en los conjuntos de Sidón que le han llevado a ser reconocido como uno de los principales expertos en la materia a nivel internacional. Su trabajo también ha dado lugar a nuevas líneas de investigación en este campo que se encuentran en pleno auge; de hecho, investigadores de ETH Zürich, Caltech, Stanford University y MIT han logrado avances significativos en estos temas.

Estos son solo algunos ejemplos de cómo los conjuntos de Sidon, estructuras matemáticas aparentemente simples, continúan generando nuevas preguntas de investigación y descubrimientos casi 90 años después de su descubrimiento. Además, este tema se extiende más allá de la teoría de números, con ramificaciones en otros campos y también con aplicaciones tecnológicas. Por ejemplo, los conjuntos Sidon generalizados bidimensionales, que consideran, en lugar de números enteros, puntos en el plano con coordenadas enteras, se pueden usar en el diseño eficiente de antenas y sonar, distribución de claves en redes de telefonía celular y criptografía.

Pablo Candela es el profesor al Universidad Autónoma de Madrid y miembro de Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMA).

Rue Juanjo es el profesor Agregat del Universitat Politècnica de Catalunya (UPC), investigadora de la Instituto de Matemáticas de la UPC (IMTech) e investigadora del Centro de Investigaciones Matemáticas (CRM).

Timon Agata es coordinador de la Unidad de Cultura Matemática de ICMAT.Café y teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y el entorno en el que nace, coordinada por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que investigadores y miembros del centro describen los últimos avances en esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones social y cultural y recordemos a quienes han marcado su desarrollo y han sabido transformar el café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: «Un matemático es una máquina que transforma el café en teoremas».

Posible imagen: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Erdos_budapest_fall_1992.jpg Pie posible: El famoso matemático húngaro Paul Erdös hizo varias contribuciones sobre los llamados conjuntos de Sidón.

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