Matemáticas: Teselas de Penrose | El descanso de la ciencia

La condición necesaria y suficiente para que un hexágono irregular pueda teselar el plano (ver artículo anterior) es que tenga simetría central, como en el teselado hexagonal biselado de la figura. En este caso, incluso las baldosas irregulares tienen simetría axial, una condición innecesaria, y se combinan con baldosas regulares; pero es obvio que el plano se puede teselar sin los pequeños hexágonos regulares.

En las últimas semanas hemos hablado de tarjetas y Penrose, por lo que es imperdonable combinar ambos términos y dedicar unos párrafos a las tarjetas de Penrose.

Todas las teselaciones de las que nos hemos ocupado recientemente, así como la gran mayoría de las que podemos ver en mosaicos y alicatados de todo tipo, son periódicas, lo que significa que podemos delimitar en ellas una región que aplana el plano por traslación, es es decir, moverlo sin torceduras ni simetría (una forma informal de decirlo es que se mantiene el mismo diseño básico en toda la teselación).

Los polígonos regulares que pueden teselar el plano (el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular) solo pueden hacerlo periódicamente; pero para el mismo número de rombos, por ejemplo, podemos crear tanto teselados periódicos – el típico arlequín – como aperiódicos (¿puedes dibujar uno?).

Un tipo peculiar de teselaciones aperiódicas son las agrupaciones de mosaicos que forman copias de sí mismos en una escala mayor, que Solomon W. Golomb llamó reptiles (contracción de mosaicos repetitivos, mosaicos repetitivos), como vimos hace unos meses al hablar de poliominós.

Durante mucho tiempo se pensó que todas las baldosas que pudieran dar lugar a teselados aperiódicos también podrían reordenarse en configuraciones periódicas, como en el caso de rombos o rombos. reptiles; Pero a partir de los años setenta del siglo pasado se han descubierto conjuntos de teselas que sólo pueden dar lugar a teselaciones aperiódicas, como las seis teselaciones obtenidas por Raphael M. Robinson del cuadrado, o las seis de Robert Ammann, que vemos en la figura, también del cuadrado.

Pero el más avanzado en este campo es Roger Penrose, un reciente premio Nobel de Física, quien en 1973 descubrió un conjunto de seis mosaicos que imponen un teselado aperiódico. En 1974 los redujo a cuatro y luego los redujo a dos.

Hay dos pares de estas baldosas binarias de Penrose: una formada por dos rombos de lados iguales, pero con ángulos diferentes (¿puedes calcularlos?), Y otra formada por dos cuadriláteros simétricos axialmente, uno cóncavo y otro convexo, obtenido al dividir el retumbar, menos alargado que el par anterior, y que John Conway llamó dardo Y cometa (dardo y cometa). Para que la teselación a la que pueden dar lugar sea necesariamente aperiódica, deben imponerse ciertas restricciones; de lo contrario, es evidente que el par de rombos se puede utilizar para la teselación periódica, y que se puede acoplar un dardo y una cometa reconstruyendo el rombo del que derivan, con lo que la teselación periódica es igualmente evidente. Las restricciones se pueden materializar, por ejemplo, coloreando los lados y permitiendo que solo se unan lados del mismo color, o agregando protuberancias y hendiduras que limitan las formas de acoplamiento, como se ve en la figura.

Cuasicristales

Los teselados aperiódicos pueden parecer una mera diversión matemática sin conexión con el mundo real; Pero el descubrimiento de cuasicristales a mediados de los años ochenta del siglo pasado (por el que Dan Shechtman fue galardonado con el Premio Nobel de Química), demostró que en la naturaleza se forman estructuras ordenadas, pero no periódicas, lo que supuso una auténtica revolución en el campo de cristalografía. . Pero este es otro artículo.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 trabajos científicos de divulgación para adultos, niños y jóvenes, entre los que se encuentran «Física maldita», «Matemáticas malditas» o «El gran juego». Fue el guionista de «La bola de cristal».

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