Nuevas técnicas para estudiar mezclas de fluidos turbulentos | Café y teoremas

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Uno de los grandes logros de las matemáticas es ofrecer modelos que predicen la evolución de los sistemas físicos basados ​​en principios básicos. Desde la época de Isaac Newton, las llamadas ecuaciones diferenciales han sido uno de los modelos más eficientes. Los métodos avanzados de teoría de ecuaciones diferenciales parciales, bien comprendidos por los investigadores, se utilizan comúnmente para estudiar estas ecuaciones. Pero cuando surgen situaciones inestables, fallan. Por tanto, es necesario inventar enfoques radicalmente diferentes, cuyo desarrollo es un desafío para la investigación actual.

Las inestabilidades aparecen constantemente tanto en la teoría matemática como en la naturaleza. Un ejemplo es la evolución de dos fluidos diferentes que se mezclan, como el agua y el vino, o el agua y el aceite. Esta última situación, especialmente cuando ocurre en un medio poroso, es de gran importancia práctica. En 1930, el ingeniero Morris Muskat buscaba una forma de extraer petróleo inyectando agua a presión en la tierra. Para modelar la evolución de los fluidos, ideó un sistema de tres ecuaciones diferenciales parciales acopladas, que corresponden a la ley de conservación de la masa, la conservación del volumen ocupado por fluidos (incompresible) y la ley de Darcy (constitutiva). Este último postula que, en un medio poroso, la velocidad del flujo es proporcional a la suma de las fuerzas que actúan sobre él; en este caso, presión y gravedad.

Lo que conocemos como el problema de Muskat implica una dificultad particular en el caso en el que el fluido más denso se encuentra uno encima del otro, porque la fuerza de gravedad introduce una inestabilidad en el sistema que hace que los métodos clásicos no puedan aplicarse.

La solución de estas ecuaciones, que es lo que hoy conocemos como el problema de Muskat, implica una dificultad particular en el caso en el que el fluido más denso se solapa, debido a la fuerza de gravedad que introduce inestabilidad (la de Rayleigh-Taylor) en el sistema. , lo que significa que los métodos clásicos no se pueden aplicar.

Recientemente se han encontrado soluciones al problema. Estas soluciones implican la formación de una zona en la que se mezclan los fluidos, desarrollando un patrón extraño, caótico e irregular denominado “dedos viscosos”, observado experimentalmente. De alguna manera, las soluciones encuentran algún orden en la turbulencia al predecir el tamaño y la forma de esta zona de mezcla.

Para llegar a estas soluciones, la respuesta a un famoso problema de geometría diferencial, sobre las deformaciones de la esfera, fue fundamental. Es fácil reducir una esfera de radio entre sí en un radio de 0,25 simplemente encogiéndola. También parece fácil insertar una esfera de radio uno en una de 0.25 sin encogerla si nos permiten encogerla mucho. Pero, ¿y si no nos permiten encogerlo o encogerlo mucho? ¿Todavía podemos encajar el uno en el otro? En la década de 1950, el matemático John Nash demostró que sí, se puede deformar la esfera de radio uno para colocarla dentro de una esfera de radio tan pequeño como se desee sin que aparezcan ángulos o arrugas muy pronunciadas y sin encogerla, a través de infinitos pliegues cuidadosamente seleccionados. .

En 2008, dos jóvenes matemáticos, Camillo De Lellis y László Székelyhidi Jr., descubrieron que la teoría de la integración convexa podría adaptarse a la mecánica de fluidos.

Este resultado imposible formó el embrión de un nuevo concepto matemático, la integración convexa, que ha sido crucial en la geometría diferencial desde entonces. En 2008, dos jóvenes matemáticos, Camillo De Lellis y László Székelyhidi Jr., descubrieron que la teoría de la integración convexa podría adaptarse a la mecánica de fluidos. Con él, obtuvieron nuevas soluciones para las ecuaciones de Euler (la ecuación madre de todas las ecuaciones de fluidos) con un comportamiento sorprendente y que han sido bautizadas como “soluciones salvajes”, debido a su irregularidad. Su construcción es una auténtica obra de orfebrería matemática y ha dado vida a herramientas que nos permiten afrontar otros problemas, como el del inestable régimen de Muskat.

Desde un punto de vista físico, la clave está en la dualidad entre la descripción macroscópica y microscópica del fluido. Macroscópicamente, la evolución es la de un movimiento clásico: el fluido más pesado se cambia gradualmente por el más ligero. Microscópicamente, la evolución es muy irregular y describe un patrón similar al presente en el procesamiento de metamateriales modernos. Volviendo a las ideas de Nash, la interpretación macroscópica del fluido corresponde al retiro natural de la esfera que no conserva distancias, y la versión microscópica a los pliegues de Nash.

En regímenes turbulentos, el comportamiento macroscópico de las soluciones se describe mediante relajación –Esto es menos requerido– que las relaciones no lineales del problema. En la versión macroscópica del problema de Muskat, la relación de flujo igual a masa por velocidad se reemplaza por un flujo “no muy diferente” de masa por velocidad. Estrictamente hablando, esta relación se expresa geométricamente imponiendo que el flujo, la velocidad y la densidad pertenecen a un conjunto de cinco dimensiones conocido como la relajación del problema de Muskat.

Después de un análisis puramente geométrico, las dificultades continúan, porque no hay teoría para resolver las nuevas ecuaciones relajadas.

Por tanto, el primer objetivo es comprender la geometría de este espacio. Después de este análisis puramente geométrico las dificultades continúan, porque no existe una teoría para resolver el nuevo ecuaciones relajadas. Sin embargo, en un trabajo que será publicado en la revista Inventos de Mathematicae Se ha postulado una estrategia matemáticamente innovadora para tratar y resolver estas ecuaciones relajadas.

De esta forma, el programa que estamos desarrollando propone una forma sistemática de afrontar problemas físicamente inestables, hasta ahora inaccesibles a la teoría. Por supuesto, estos trabajos generan nuevas preguntas fascinantes: ¿Deberíamos cambiar las relaciones constitutivas tradicionales en regímenes turbulentos? ¿Podemos llegar a nuevos conceptos en física teórica a partir de estas soluciones salvajes? … Como siempre ocurre en la ciencia, una respuesta es la puerta a mil preguntas nuevas.

Ángel castro es Diego Córdoba son investigadores de ICMAT, Daniel Faraco es profesor de Universidad Autónoma de Madrid y miembro de ICMAT

Redacción y coordinación: Agata A. Timón G-Longoria (ICMAT)

Café y teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y el entorno en el que se crea, coordinada por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que investigadores y miembros del centro describen los últimos avances en esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otros y expresiones culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar el café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma el café en teoremas”.

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